حل فعالیت صفحه 128 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 128 - فعالیت 1 این فعالیت به بررسی مفهوم **احتمال** و تفاوت بین اعداد **اول** و **مرکب** می‌پردازد. ### گام اول: شناسایی فضای نمونه و تعداد کل حالت‌ها **فضای نمونه** ($S$) شامل تمام اعداد نوشته شده روی کارت‌ها است: $$S = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$$ **تعداد کل حالت‌ها** (تعداد کارت‌ها) برابر است با: $n(S) = 10$. --- ### گام دوم: شناسایی اعداد اول و مرکب 1. **اعداد اول:** اعدادی که فقط بر خودشان و ۱ بخش‌پذیر هستند. * اعداد اول بین ۱۱ تا ۲۰: $\{11, 13, 17, 19\}$ * تعداد اعداد اول: $n(A) = 4$ 2. **اعداد مرکب:** اعدادی که بیش از دو مقسوم‌علیه (بخش‌پذیر) دارند. * اعداد مرکب بین ۱۱ تا ۲۰: $\{12, 14, 15, 16, 18, 20\}$ * تعداد اعداد مرکب: $n(B) = 6$ **(نکته:** عدد ۱ نه اول است و نه مرکب. در این بازه، عدد دیگری غیر از اول و مرکب نداریم.) --- ### گام سوم: محاسبه احتمال و مقایسه **احتمال** هر پیشامد برابر است با نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌ها: * **احتمال اینکه کارت، عدد اول باشد:** $$P(\text{اول}) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} = 0.4$$ * **احتمال اینکه کارت، عدد مرکب باشد:** $$P(\text{مرکب}) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{10} = 0.6$$ **مقایسه:** $P(\text{مرکب}) = 0.6$ بزرگتر از $P(\text{اول}) = 0.4$ است. **نتیجه:** **احتمال اینکه کارت، عددی مرکب باشد بیشتر است.** **چرا؟** چون تعداد اعداد مرکب ($6$ عدد) از تعداد اعداد اول ($4$ عدد) در این بازه بیشتر است. از آنجایی که کارت‌ها هم اندازه و هم شانس هستند، هرچه تعداد حالت‌های مطلوب یک پیشامد بیشتر باشد، احتمال وقوع آن نیز بیشتر خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 128 - فعالیت 2 **حالت‌های هم شانس** به حالت‌هایی گفته می‌شود که احتمال وقوع آن‌ها با یکدیگر برابر است. ### الف) عقربه چرخنده چون دایره (صفحه گردان) به **۴ بخش مساوی** (هم اندازه) تقسیم شده است، عقربه به طور مساوی شانس ایستادن روی هر بخش را دارد. **حالت‌های هم شانس:** * ایستادن عقربه روی بخش **قرمز**. * ایستادن عقربه روی بخش **آبی**. * ایستادن عقربه روی بخش **زرد**. * ایستادن عقربه روی بخش **سبز**. $$P(\text{قرمز}) = P(\text{آبی}) = P(\text{زرد}) = P(\text{سبز}) = \frac{1}{4}$$ ### ب) انداختن تاس یک **تاس استاندارد** شش وجه دارد و فرض می‌کنیم که تاس سالم است. بنابراین، احتمال آمدن هر عدد با بقیه برابر است. **حالت‌های هم شانس:** * آمدن عدد **۱** * آمدن عدد **۲** * آمدن عدد **۳** * آمدن عدد **۴** * آمدن عدد **۵** * آمدن عدد **۶** $$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 128 - فعالیت 3 این فعالیت تفاوت بین **پیشامدها** و **حالت‌های هم شانس** را توضیح می‌دهد. ### تحلیل پاسخ شایان و علی **شایان (دو حالت: سبز، سفید):** * شایان به **نوع مهره‌ها** نگاه کرده است. او فقط دو **پیشامد** (Type of Outcome) ممکن را در نظر گرفته است: یا مهره سبز است یا مهره سفید. * پاسخ او از نظر پیشامد صحیح است، اما این حالت‌ها **هم شانس نیستند.** چون تعداد مهره‌های سبز (۳ تا) با تعداد مهره‌های سفید (۱ دانه) برابر نیست، احتمال بیرون آمدن مهره سبز سه برابر مهره سفید است. **علی (چهار حالت: سبز ۱، سبز ۲، سبز ۳، سفید):** * علی برای اینکه بتواند **حالت‌های هم شانس** را تعیین کند، مهره‌های هم‌رنگ را از هم **متمایز** کرده است. * با متمایز کردن مهره‌ها (سبز ۱، سبز ۲، سبز ۳)، حالا هر یک از این ۴ مهره شانس **برابر** برای بیرون آمدن دارند. ### نتیجه‌گیری: چرا پاسخ علی درست است؟ **پاسخ علی درست است، زیرا:** 1. **هم شانس بودن:** مفهوم **حالت‌های هم شانس** مستلزم آن است که احتمال انتخاب هر حالت با بقیه برابر باشد. چون همه مهره‌ها (اگر از نظر فیزیکی یکسان باشند) شانس یکسانی برای انتخاب شدن دارند، برای شمردن حالت‌های هم شانس باید آن‌ها را **متمایز** در نظر بگیریم. 2. **تعریف احتمال:** در فرمول احتمال، **تعداد کل حالت‌ها** باید شامل تمام حالت‌های هم شانس باشد. اگر $S_{\text{علی}} = \{\text{س}_1, \text{س}_2, \text{س}_3, \text{سفید}\}$ باشد، آنگاه $P(\text{سفید}) = \frac{1}{4}$ و $P(\text{سبز}) = \frac{3}{4}$. **نکته کلیدی:** اگر اشیای هم‌رنگ یا هم‌نوع باشند، برای محاسبه حالت‌های هم شانس باید آن‌ها را **متمایز** فرض کنیم (مثلاً با شماره‌گذاری).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 128 - فعالیت 4 این فعالیت مروری بر مفاهیم احتمال و اعداد اول و مرکب در بازه عددی ۱۱ تا ۲۰ است. **فضای نمونه:** $S = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ **تعداد کل حالت‌ها:** $n(S) = 10$ ### الف) تعداد اعداد اول اعداد اول در بازه ۱۱ تا ۲۰، اعدادی هستند که فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیرند: * $A = \{11, 13, 17, 19\}$ **پاسخ:** در **۴** تا از کارت‌ها عدد روی کارت، اول است. ($n(A) = 4$) ### ب) تعداد اعداد مرکب اعداد مرکب، اعدادی هستند که بیش از دو مقسوم‌علیه دارند: * $B = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}$ **پاسخ:** در **۶** تا از کارت‌ها عدد روی کارت، مرکب است. ($n(B) = 6$) ### ج) محاسبه احتمال‌ها **فرمول احتمال:** $P(\text{پیشامد}) = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌ها}}$ 1. **احتمال اینکه عدد روی کارت، اول باشد:** $$P(\text{اول}) = \frac{\text{تعداد اعداد اول}}{\text{تعداد کل کارت‌ها}} = \frac{4}{10} = 0.4$$ 2. **احتمال اینکه عدد روی کارت، مرکب باشد:** $$P(\text{مرکب}) = \frac{\text{تعداد اعداد مرکب}}{\text{تعداد کل کارت‌ها}} = \frac{6}{10} = 0.6$$ **پاسخ نهایی:** $$\text{احتمال اینکه عدد روی کارت، اول باشد} = \frac{4}{10}$$ $$\text{احتمال اینکه عدد روی کارت، مرکب باشد} = \frac{6}{10}$$